今年我为北京世纪坛的数学益智游戏展贡献了不少内容。我打算在这里记录一些自己的创作、发现、收获和心得。这是该系列的第三篇。 今年的数学益智游戏展有一个特色，就是到访者可以购买一个小册子，这可以为自己的参展体验加分。我们内部把它叫作“任务单”。任务单里有很多任务，对应了展会中的各种项目。完成任务可以获得印章，赢取奖励。为了增加任务单的附加价值，任务单上还附赠了很多简单展品的高级玩法说明。这里举一个有趣的例子。 展会现场有很多冰糕棍，可以用来做冰糕棍炸弹。任务单上给出了冰糕棍的另一种玩法——Nim 游戏。将冰糕棍从左到右摆成若干堆。两人轮流从其中一堆冰糕棍中取走任意数量的冰糕棍（可以全部取走，但不能不取）。取走最后一根冰糕棍的玩家获胜。 考虑到任务单的读者可能已经熟悉 Nim 游戏了，因此为了让所有人都能有新的收获，我补充了一些不太常见的 Nim 游戏变种。我一共准备了 10 条补充规则。游戏开始前，双方可以任选其中一条来玩。 每次只能从最左端或者最右端的那一堆中取冰糕棍。 每次只能从冰糕棍数最多的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最多的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。 每次只能从冰糕棍数最少的那一堆中取冰糕棍（如果冰糕棍数最少的堆出现了并列的情况，任选其中一堆即可）。 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才不同的堆中取冰糕棍。 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才相邻的堆中取冰糕棍。 第一个人可以从任意一堆中取冰糕棍，今后每个人只能从和刚才相同的堆中取冰糕棍（除非刚才那一堆被取完了）。 每次取完后，还可以再从另一堆中取走同样多的冰糕棍。 每次取冰糕棍的数目改为最多 3 根。 取走最后一根冰糕棍的玩家算输。 还差一条，应该写什么呢？我有三个备选方案。大家可以猜一猜，我最后用了哪个方案。 游戏双方各有一次“跳过”的机会。 游戏中有一次“跳过”的机会，任意玩家使用后该机会作废。 每次对方取完后，如果他还有别的取法，你便能要求他该轮换一种取法。 这三条补充规则都挺有意思，它们都在一个更底层的层面修改了游戏规则。我们都来分析一下。Nim 游戏里局面信息透明，不含运气成分，不会有平局产生中，所以一定有一个人拥有必胜策略。对于有的开局，先手拥有必胜策略。对于另外的开局，后手拥有必胜策略。 如果游戏双方各有一次“跳过”的机会，整个游戏跟原版其实没啥区别。对于任意一种开局，在原版中不管是先手必胜还是后手必胜，这个人在新版中仍然能够必胜。他只需要在对方选择跳过时也立即选择跳过（自己绝不主动跳过），就能把对方的跳过机会给抵消掉。一切就变回成传统的 Nim 游戏了。所以，我没有采用第一个方案。 如果整个游戏只有一次“跳过”的机会呢？情况会变得更有意思。如果一个局面在原版的 Nim 游戏中是后手必胜的，那么在新版的 Nim 游戏中，先手上来就选择跳过，从而变成后手，便能赢得胜利。 如果一个局面在原版的 Nim 游戏中是先手必胜的？让我们看看 (1, 2) 这个局面。在原版的 Nim 游戏中，它是先手必胜的。先手可以拿走后一堆中的一根冰糕棍，接下来只能是每人各拿一根，从而先手获胜。在新版的 Nim 游戏中，先手显然不会上来就用“跳过”，把必胜局面拱手让给对方；先手也不会把其中一堆取光，不然直接就输了。所以，他只能像刚才一样，把 (1, 2) 变成 (1, 1)。接下来，两人本该一人拿一根，但后手可以用一次“跳过”，从而取得最后一根。所以胜负关系也交换了。 两版 Nim 游戏的胜负关系总是颠倒的吗？不是。(1, 3) […]